مسألة: عجلة عيد الميلاد
قدّاش من دورة قبل ما يتعاود رقم؟ أقل برشا ممّا يتصوّرو أغلب الناس.
مسألة عيد الميلاد على عجلة فيها 37 خانةالمعداتالخانةوحدة من الـ37 خانة المرقّمة على الدوّار. تتسمّى زادة: الفتحة، الكاس.اقرا الكل ←: بعد 8 دورات برك، فمّا احتمال يفوق النص إنو رقم ما طلع ديجا زوز مرّات. اللاعبين يقراو التكرار على إنو نمط؛ أما هو السلوك المتوقع متاع عجلة نزيهة.
المسألة
دوّر عجلة أوروبية نزيهة. قدّاش من دورة يلزم باش الاحتمالرياضياتالاحتمالفرصة نتيجة، من 0 لـ1 ولا من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكل ← إنو زوز دورات على الأقل طلّعو نفس الرقم يفوت النص؟ أغلب اللاعبين يخمّنو حاجة قريبة من 18 ولّا 19، نص 37. الجواب هو 8.
الحل
احسب احتمال إنو ما فمّاش تكرار، ونقّصو من واحد. بعد k دورة، p(الكل مختلفين) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). كيف k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، يعني p(فمّا تكرار) ≈ 0.56. كيف k = 14 يولّي 0.93؛ كيف k = 20 يولّي 0.996. الإحساس يغلط خاطر عدد الأزواج متاع الدورات يكبر كيف k²، وأي زوج ينجم يتطابق.
علاش هذا يهم على الطاولة
لوحة نتائج فيها آخر 20 رقم تقريب ديما باش تورّي تكرار واحد على الأقل، وبرشا مرّات زوز ولّا ثلاثة. اللاعبين يشوفو «17 طلع زوز مرّات في عشرة دورات» ويستنتجو إنو 17 رقم سخون؛ حساب عيد الميلاد يقول إنو تكرار في عشرة دورات يصير في 74% من المرّات، والرقم اللي يتعاود عشوائي. النمط حقيقي؛ المعنى لا.
المسألة اللي بعدها
قدّاش من دورة يلزم باش رقم محدّد، خلّي نقولو 17، يطلع زوز مرّات؟ هذا سؤال آخر وجوابو أكبر برشا: الانتظار المتوقع 74 دورة، واحتمال إنو 17 يطلع زوز مرّات في 20 دورة قريب من 10%. الفرق بين «رقم ما يتعاود» (8 دورات) و«الرقم هذا يتعاود» (74 دورة) هو الفرق الكل بين نمط تلاحظو من بعد وتوقّع تعملو من قبل.
جرّب
شغّل اللعبة التجريبية عشرة دورات وشوف السجل. في أغلب المرّات باش تلقى تكرار. شغّلها مرّة أخرى. الرقم اللي يتعاود باش يكون مختلف. اعمل هكّا عشرة مرّات وتكون شفت مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادقدّاش يلزم من عبد باش يولّي محتمل اللي زوز يتشاركو في نفس نهار الميلاد، ولا قدّاش يلزم من دورة باش يولّي محتمل اللي رقم يتعاود. على عجلة بـ37 خانة، 8 دورات يكفيو باش الاحتمال يفوت النص.اقرا الكل ←؛ اعملها ألف مرّة (المحاكيات تنجم) وتكون قستها.
الصيغة
الأسئلة
بالضبط، بـ37 خانة في بلاصة 365 يوم. 23 شخص يعطيو 50% في أعياد الميلاد؛ 8 دورات يعطيو 56% في العجلة.
50% بعد تقريب 19 دورة. حاجة عادية زادة.
لا. آلاف الدورات من نفس العجلة تنجم تدلّ؛ تكرار واحد عمرو ما يدلّ.
نتفرهدو بالرياضيات
جرّب وحدك قبل. كل حل مطوي؛ حلّو وقتلي تكون حاضر.
لوحة نتائج جنب عجلة أمريكية تورّي آخر 16 دورة. قدّاش الاحتمال إنو حتى رقم ما يظهر عليها زوز مرّات؟
ورّي الحل
الجواب تقريبًا 2.5%: تقريبًا 39 لوحة من 40 تورّي على الأقل تكرار واحد.
امشي دورة بدورة. الدورة الأولى تنجم تكون أي حاجة. الثانية لازم ما تطيحش عليها: 37 فرصة من 38. الثالثة لازم ما تطيحش على الزوز: 36 من 38. الدورة رقم ستّاش لازم ما تطيحش على خمسطاش رقم: 23 من 38.
اضرب: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
اللوحة اللي ما فيهاش تكرار هي النادرة. لوحة فيها تكرار ما تقول حتى شي على العجلة.
في عشرة دورات على عجلة أوروبية، شنوّة احتمال إنو 17 يطلع خمسة مرّات بالضبط؟ وإنو رقم ما، أي رقم، يطلع خمسة مرّات ولا أكثر؟ وإنو رقم ما يطلع على الأقل ثلاثة مرّات في أربعة دورات؟
ورّي الحل
الجواب 17 خمسة مرّات بالضبط: 1 من 315,576. رقم ما خمسة مرّات ولا أكثر: تقريبًا 1 من 8,333. رقم ما ثلاثة مرّات ولا أكثر في أربعة دورات: 1 من 349.
17 خمسة مرّات: اختار آما خمسة من العشرة دورات، 252 طريقة، كل وحدة باحتمال (1/37)⁵ × (36/37)⁵. الكل مع بعضهم، 1 من 315,576.
رقم ما: كل رقم من الـ37 عندو احتمال 1 من 308,325 باش يطلع خمسة مرّات ولا أكثر، وهذا يعطي 37 من 308,325، يعني 1 من 8,333. الحالة النادرة متاع زوز أرقام كل واحد يطلع خمسة مرّات تتحسب زوز مرّات، أما كي تنحّيها ما يتبدّل حتى شي بالدقّة هاذي.
ثلاثة مرّات في أربعة دورات: لرقم واحد، 4 × 36 + 1 = 145 من الـ37⁴ نتيجة الممكنة؛ لأي رقم من الـ37، 145/37³ = 1 من 349.
لعجلة بزوز أصفارالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي حتى رهان خلاص متساوي، دزينة ولا عمود ما يغطّيها؛ هي مصدر ميزة الكازينو. يتسمّى زادة: الصفر الواحد، 0.اقرا الكل ←، الأرقام المقابلة هي 1 من 359,275، 1 من 9,243 و1 من 368. الفرق بين «17» و«رقم ما» هو مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادقدّاش يلزم من عبد باش يولّي محتمل اللي زوز يتشاركو في نفس نهار الميلاد، ولا قدّاش يلزم من دورة باش يولّي محتمل اللي رقم يتعاود. على عجلة بـ37 خانة، 8 دورات يكفيو باش الاحتمال يفوت النص.اقرا الكل ← مرّة أخرى: فمّا 37 طريقة باش تتفاجأ.
استراحة متاع ضحك
حاجة تتعاود بكري. والحاجة هاذي عشوائية.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”، أسئلة على الروليت.