مسألة: حدّ الطاولة
مارتينغال بـ$10 على طاولة الحدّ متاعها $500. قدّاش من مرّة يتكسّر، قدّاش يخسر وقتلي يتكسّر، وتطليع الحدّ ينفع؟
ستّة خسائر على التوالي يكسّروه: 1.8% في كل حلقة، وتقريب 60% من الجلسات متاع 100 دورة. الكسرة تكلّف $630. كان تطلّع الحدّ لـ$5,000 الكسرة تولّي أندر (0.25% في كل حلقة) وأكبر ($5,110). الخسارة المتوقعة على كل دولار مراهن بيه هي 2.70% مع أي حدّ.
المسألة
لاعب يراهن بـ$10 على الأحمررهانالأحمررهان خلاص متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسية: rouge.اقرا الكل ← ويضاعف بعد كل خسارة، ويرجع للبداية بعد كل ربح. الحدّ الأقصى للطاولة $500. (a) قدّاش من خسارة على التوالي تكسّر التدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة تبدّل مبلغ الرهان حسب النتائج اللي فاتت. التدرّجات السلبية تطلّعو بعد الخسارات، والإيجابية بعد الربحات.اقرا الكل ←؟ (b) قدّاش الاحتمالرياضياتالاحتمالفرصة نتيجة، من 0 لـ1 ولا من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكل ← في كل حلقة؟ (c) قدّاش يتخسر وقت الكسرة؟ (d) كيفاش حدّ متاع $5,000 يبدّل الأجوبة؟ (e) فمّا حدّ يخلّي النظام رابح؟
حلول (a)–(c)
مبالغ الرهان: 10، 20، 40، 80، 160، 320. السابع يكون 640 > 500، يعني ستّة خسائر يكسّروه. (b) p(الخسارة) = 19/37 على الأحمر؛ (19/37)⁶ = 0.0183، يعني تقريب 1.8% في كل حلقة. الحلقة تدوم تقريب زوز دورات في المعدل، يعني جلسة متاع 100 دورة فيها تقريب 50 حلقة، وp(كسرة وحدة على الأقل) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، يعني 63 وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يخدم بيه نظام ولا لاعب. التدرّجات توصف بالوحدات باش تنطبق على أي طاولة.اقرا الكل ← أساسية، قدّام الـ$10 اللي كانت الحلقة تحب تربحهم.
حل (d)
مع $5,000: مبالغ الرهان حتى 2,560 مسموحة؛ والرهان العاشر، 5,120، يترفض. تسعة خسائر يكسّروه: (19/37)⁹ ≈ 0.25% في كل حلقة، يعني تقريب 11% من الجلسات متاع 100 دورة. الخسارة وقت الكسرة: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. اللاعب شرى كارثة أندر بسوم كارثة أكبر. على برشا جلسات، التكلفة المتوقعة متاع الكسرات هي p × الخسارة ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 في كل حلقة مع حدّ $500، و0.0025 × 5,110 = $12.8 مع $5,000؛ الزوز قريب من بعضهم أما موش متساويين، وكل واحد فيهم هو الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة مضروبة في المبلغ الكامل اللي راهنت بيه؛ يعني معدّل قدّاش تخسر في جلسة ولا في مدّة.اقرا الكل ← متاع الحلقة زايد الـ$10 اللي تربحهم الحلقات الرابحة.
حل (e)
لا. الخسارة المتوقعة في كل حلقة = (المجموع المتوقع لمبالغ الرهان في الحلقة) / 37، مع أي حدّ، خاطر كل رهان هو −1/37 من روحو. الحدّ كان يقرّر كيفاش الخسارة تتوزّع بين برشا أرباح صغار وشويّة خسائر كبار. من غير حدّ ومع رأس مال لعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكامل اللي حطّيتو على جنب للعب. وإدارة رأس المال هي إنك تقرّر قدّاش منو تخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكل ← ما عندوش آخر، التدرّج كان باش «يخدم»، بمعنى إنو عمرو ما يتكسّر، أما زادة كان باش يراهن بمبلغ ما عندوش حدّ بخسارة متوقعة 2.70% من المبلغ هذا اللي ما عندوش حدّ. موش حدّ الطاولةالطاولةحدّ الطاولةأصغر وأكبر رهان مسموح بيه. الحدّ الأقصى هو اللي يوقّف تدرّجات المضاعفة.اقرا الكل ← هو اللي يمنع مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية باش تعرف شنوّة يعمل وشنوّة ما يعملش.اقرا الكل ← من إنو يخدم. الحساب هو اللي يمنعو.
زوز طاولات حقيقية
المثال متاع ثورب هو طاولة بـ$1 والحدّ الأقصى متاعها $1,000، وين لاعب يحب يربح $30 باش يتعشّى، دولار بدولار. مبالغ الرهان 1، 2، 4 … 512 تسمح بعشرة رهانات، يعني عشرة خسائر على التوالي يكسّرو التدرّج: مرّة في 785 حلقة على العجلة الأوروبية (مرّة في 613 على الأمريكية)، بتكلفة $1,023. الثلاثين حلقة الكل ينجحو في 96.2% من المرّات. أما الـ3.8% الباقيين يخسرو تقريب $1,000، ومتوسط نتيجة السهرية هو −$9.17، وهذا بالضبط 1/37 من الـ$339 اللي تراهن بيهم الثلاثين حلقة في المعدل. وطاولة بـ$5 والحدّ الأقصى متاعها $2,000 ما فيها حتى فرق: مبالغ الرهان حتى $1,280 تسمح بتسعة رهانات، والكسرة تجي مرّة في 403 حلقة على العجلة الأوروبية (مرّة في 323 على الأمريكية) وتكلّف $2,555.
لاعب عندو الفلوس
اعطي للتدرّج رأس مال كبير في بلاصة حدّ واطي: 1,000 وحدة، ورهان أساسي بوحدة وحدة، و1,000 دورة على الأحمر، وترجع لوحدة وحدة كل مرّة المضاعفة الجاية تكون أكثر من اللي بقى. عملنا محاكاة لمليون سهرية كيف هاذي. على العجلة الأوروبية 52% يكمّلو رابحين، 21% يخسرو كل شي، ومتوسط النتيجة −124 وحدة. وحتى في لعبة من غير صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي حتى رهان خلاص متساوي، دزينة ولا عمود ما يغطّيها؛ هي مصدر ميزة الكازينو. يتسمّى زادة: الصفر الواحد، 0.اقرا الكل ←، وين كل رهان عادل، كان تقريب 60% اللي باش يكمّلو رابحين. السهرية العادية ربح صغير؛ والمتوسط تخلّصو السهريات اللي يكمّلو على الصفر.
الدرس
الكازينوهات يحطّو الحدود باش يحدّدو التباينرياضياتالتباينقياس لقدّاش النتائج تتفرّق حول القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، واطي في رهانات الخلاص المتساوي.اقرا الكل ← متاعهم هوما، موش باش يغلبو الأنظمة. الغلبة على مارتينغال كان نتيجة جانبية فرحانين بيها، والحساب كان باش يغلبو على كل حال. اللاعب اللي يتصوّر إنو الحدّ هو المشكل لقى وين الهاوية وحسبها هي الطلعة.
الصيغة
الأسئلة
يخلّيك تصمد حتى لحدّ أعلى، وين الكسرة تكون أندر وأكبر. الخسارة المتوقعة على كل دولار ما تتبدّلش.
مبالغ الرهان 10، 30، 70، 150، 310: توصل لحدّ $500 بعد خمسة خسائر، والكسرة تكلّف $570. نفس الـ2.70%.
باش حتى لاعب ما ينجم يراهن بأكثر من اللي ينجم الاحتياطي متاع الكازينو يخلّصو بلا مشكل. إدارة التباين.
نتفرهدو بالرياضيات
جرّب وحدك قبل. كل حل مطوي؛ حلّو وقتلي تكون حاضر.
نظام مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية باش تعرف شنوّة يعمل وشنوّة ما يعملش.اقرا الكل ← يبدا بـ$100 على الأحمررهانالأحمررهان خلاص متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنسية: rouge.اقرا الكل ← وما يسمحلو كان بـn رهان على الأكثر في الحلقة: بعد n خسارة على التوالي يحبس ويعاود من الأوّل. اكتب النتيجة المتوسطة متاع حلقة وحدة كصيغة بدلالة n، واحسبها لـ5 و6 و7 رهانات على عجلة أوروبية.
ورّي الحل
الجواب المعدل هو 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 لـ5 رهانات، −$17.35 لـ6، −$20.52 لـ7. كي تسمح برهانات أكثر الحلقة المتوسطة تولّي أخيب، موش خير.
الحلقة تربح $100 كان ما تخسرش الـn رهان الكل، وهذا يصير باحتمال qⁿ، وين q = 19/37. كي يخسرو الكل، المبالغ 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ مجموعها 100 × (2ⁿ − 1). إذن المعدل هو 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
هوني 2q = 38/37، أكثر شويّة من 1، إذن (2q)ⁿ يكبر مع n والمعدل يهبط: n = 5 يعطي 1.1426 يعني −$14.26؛ n = 6 يعطي 1.1735 يعني −$17.35؛ n = 7 يعطي 1.2052 يعني −$20.52. سلّم أطول يخسر أقل المرّات، في 3.6% و1.8% و0.9% من الحلقات، أما كل خسارة أكبر زوز مرّات، وفلوس أكثر تتعدّى على الطاولة في كل حلقة، بـ2.70% من كل رهان.
على عجلة أمريكية 2q = 40/38 والأرقام هي −$29.24، −$36.04، −$43.20 (تايلور، 2021). في لعبة من غير صفرالعجلةالصفرالخانة الخضراء الوحيدة اللي حتى رهان خلاص متساوي، دزينة ولا عمود ما يغطّيها؛ هي مصدر ميزة الكازينو. يتسمّى زادة: الصفر الواحد، 0.اقرا الكل ← 2q = 1، وكل حلقة معدّلها صفر بالضبط مهما كان طول السلّم.
«مارتينغال الكبير» يضاعف مبلغ الرهان بعد الخسارة ويزيد وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يخدم بيه نظام ولا لاعب. التدرّجات توصف بالوحدات باش تنطبق على أي طاولة.اقرا الكل ←، إذن المبالغ تمشي 1، 3، 7، 15، 31 … قدّاش تكون رابح كي يجي أوّل ربح في الرهان الـ1، الـ2، الـ3 وإلا الـk؟ بوحدة $10 وحدّ أقصى $500، قدّاش من مرّة تتكسّر الحلقة، وقدّاش تكلّف الحلقة في المعدل؟
ورّي الحل
الجواب ربح في الرهان الـk يخلّيك رابح k وحدة: +1، +2، +3 وهكّا. بـ$10 و$500 الحلقة تتكسّر بعد خمسة خسائر، 3.57% من الحلقات، يعني −$570. في المعدل الحلقة تخسر $2.32 من $85.73 مراهن بيهم: 2.70%.
المبلغ الـk هو 2ᵏ − 1 وحدة: 1، 3، 7، 15، 31. الـk − 1 مبالغ الأولى مجموعها 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. ربح في الرهان الـk يخلّص 2ᵏ − 1، إذن الحلقة توفى (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k وحدة رابح: وحدة زايدة على كل خسارة قبل الربح.
بـ$10 للوحدة المبالغ هي $10، $30، $70، $150 و$310؛ اللي بعدو، $630، يفوت الحدّ الأقصى $500. خمسة خسائر على التوالي، (19/37)⁵ = 3.57%، تكلّف 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
المعدل: الأرباح تجيب $10 × k باحتمال (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 لـk = 1 حتى 5، والكسرة تاخو $570 باحتمال 3.57%؛ مع بعضهم −$2.32. الفلوس المراهن بيها معدّلها $85.73 في الحلقة، و2.32/85.73 = 2.70%. مارتينغال العادي على نفس الطاولة يتكسّر بعد ستّة خسائر، 1.83% من الحلقات، يعني −$630، ويخسر $1.74 من $64.20 مراهن بيهم: 2.70% مرّة أخرى.
لاعب يخطّط لمارتينغال على الأحمر برهان أوّل بـ$1 على طاولة الحدّ متاعها $1,000، إذن عشرة رهانات ممكنة: $1، $2، $4 وهكّا حتى $512. قدّاش من مرّة الحلقة تخسر العشرة الكل، قدّاش ياخو هذا من وقت في المعدل، وقدّاش من مرّة سهرة بـ200 رهان توفى هكّا؟
ورّي الحل
الجواب الحلقة تخسر العشرة الكل تقريبًا مرّة من 784، وهذا يكلّف $1,023. هذا تقريبًا 1,600 رهان في المعدل، وسهرة بـ200 رهان تضرب في الحيط تقريبًا 11% من المرّات. الحلقة مازالت تخسر $0.31 في المعدل من $11.31 مراهن بيهم: 2.70%.
رهان على الأحمر يخسر باحتمال 19/37، الصفر محسوب. عشرة على التوالي: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، تقريبًا 1 من 784. المبالغ 1 + 2 + 4 + … + 512 مجموعها $1,023.
الحلقة تاخو 2.05 رهانات في المعدل، إذن 784 حلقة ياخذو تقريبًا 1,600 رهان. كان تحسب دورة بدورة، سلسلة من عشرة خسائر تطلع في بلاصة ما في 200 رهان 11.3% من المرّات.
بين الكوارث اللاعب يربح $1 في الحلقة: تقريبًا $783 قبل الحلقة الخايبة، وبعد −$1,023، يعني تقريبًا −$240 على المدّة الكل. في الحلقة: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. الفلوس المراهن بيها في الحلقة: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. يعني −0.31/11.31 = −2.70%.
قارن مع رهان أوّل بـ$10 وحدّ $500، ستّة رهانات: الحيط يجي مرّة في 55 حلقة، وسهرة بـ200 رهان تضرب فيه 84% من المرّات. حدّ أعلى يخلّي الطيحة أندر وأكبر، موش أرخص.
استراحة متاع ضحك
أندر وأكبر، مع كل حدّ. والضرب متاعهم ثابت.
المصادر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.